Kurzfassung der Dissertation: A.K.Machinek

KURZFASSUNG der Dissertation

Anwendung der Verzweigungstheorie auf das Beulen und Nachbeulverhalten von Kreisring- und Rechteckplatten

von A. Kurt Machinek (1986)


In dieser Dissertation wird das Beulen und das Nachheulverhalten von Platten am mehrfachen Eigenwert durch Anwendung der Verzweigungstheorie untersucht. Die mechanische Beschreibung der Platte ist durch die nichtlinearen VonĀ­Karman-Plattengleichungen gegeben.

Es werden zwei verschiedene Platten studiert. Die eine ist eine Kreisringplatte. Der Außenrand mit dem Radius ist eingespannt und in der Plattenmittelebene radial nach innen mit der Linienlast N belastet. Der Innenrand mit Radius b ist frei. Das andere Modell ist eine Rechteckplatte. Die beiden Breitseiten sind gelenkig gelagert und mit einer Linienlast in Plattenmittelebene druckbelastet. Eine Längsseite ist eingespannt, die andere Längsseite ist frei. Die Rechteckplatte soll - aufgefaßt als Teil einer Kreisringplatte - einen Vergleich mit der Kreisringplatte ermöglichen.

Beulen an einem mehrfachen Eigenwert bedeutet, daß bei einer kritischen Belastung mehrere Beulmodes gleichzeitig auftreten. Berechnet man die Beullasten der Kreisringplatte in Abhängigkeit von der Lochgröße b/a, so findet man, daß die Platte für b/a<0.51 in einem rotationssymmetrischen Mode ausbeult. Ist jedoch b/a >0.51, weist das Beulmuster n Wellen in Umfangsrichtung auf. Die Wellenzahl nimmt mit b/a rasch zu. Der erste kritische Wert ist b/a=0.51, für den die Beulmodes n=0 und n=1 bei gleicher Beullast auftreten. Dies ist ein dreifacher Eigenwert, da die Lage des Modes n=1 in Umfangrichtung wegen der Rotationssymmetrie der ungebeulten Platte als dritte Unbekannte auftritt. Die Berechnung der Eigenwerte und Eigenfunktionen wird numerisch mit der Software COLSYS durchgeführt.

Der dreifache Eigenwert wird genau untersucht. Die nichtlinearen Plattengleichungen werden mit Hilfe des Liapunov-Schmidt-Reduktionsverfahrens auf drei nichtlineare algebraische Gleichungen reduziert. Diese haben in einer kleinen Umgebung des Verzweigungspunktes exakt die gleichen Lösungen wie das ursprüngliche System.

Als erstes Ergebnis wird gezeigt, daß dieses System mit Termen von höchstens dritter Ordnung indeterminiert ist. Das bedeutet, daß Störungen mit Termen höherer als dritter Ordnung zu qualitativen Veränderungen der Lösungen führen. Das zweite wichtige Ergebnis dieser Arbeit ist, daß man das System von drei Gleichungen durch bestimmte lmperfektionen, die den Mode n=1 in Umfangsrichtung festlegen, auf ein System von zwei nichtlinearen Gleichungen reduzieren kann , welche dreideterminiert sind. Das zugehörige Potential ist im Sinne der Klassifikation der Katastrophentheorie eine Double Cusp.

Im nächsten Schritt wird eine beschränkt-generische Auffaltung dieser Verzweigungsgleichungen in mechanisch wichtigen Parametern durchgeführt. Dies bewirkt ein robustes Verhalten der Platte unter kleinen Störungen. Bei der Diskussion der Auffaltung dürfen die Imperfektionen, die die Reduktion von drei auf zwei Gleichungen erlaubten, nicht verschwinden.

Mit diesem aufgefalteten Modell werden verschiedene Ergebnisse präsentiert. Die Lösungen werden besonders in Hinblick auf Mode Jumping diskutiert. Die Berechnung der Lösungen erfolgt numerisch mit Hilfe einer Kurvenverfolgungsstrategie.


revised 121001 (hjb)